गणित MATHEMATICS
Study Material for Examination for the post of Sr.Teacher Grade II RPSC
LIMITS, CONTINUITY & DIFFERENTIABILITY (सीमा, सांतत्यता, अवकलनीयता)
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सीमा (Limits)
1. परिचय (Introduction)
अवकलन की सारी इमारत एक अति महत्वपूर्ण आधार सीमा (Limit) के विचार (concept) पर टिकी है। सामान्य रूप से कहें तो चर \( x \) के एक निश्चित राशि की ओर अग्रसर होने पर फलन \( f(x) \) जिस निश्चित मान (अनन्त भी हो सकता है) के नजदीक पहुँचता जाता है, वह \( x \) के उपरोक्त निश्चित राशि की ओर अग्रसर होने पर फलन \( f(x) \) की सीमा कहलाती है।
कुछ उपयोगी पद व परिभाषाएं (Some useful terms & definitions):
- \( |x – a| < \delta \iff a - \delta < x < a + \delta \) जहाँ \( \delta \) एक धनात्मक संख्या है। या \( x \in (a - \delta, a + \delta) \)
(ii) चर की सीमा (Limit of a variable)
चर \( x, a \) की ओर अग्रसर है या प्रवृत्त है अर्थात् \( x \to a \) से हमारा तात्पर्य है कि \( x \) उत्तरोत्तर रूप से ऐसे मान (\( x > a \) या \( x < a \)) ग्रहण करता है जिनका \( a \) से संख्यात्मक अंतर अर्थात् \( |x - a| \) लगातार छोटा और छोटा अन्ततः (ultimately) हमारे द्वारा सोची गई किसी भी छोटी से छोटी राशि \( \delta \) से छोटा माना जा सकता है अर्थात् \( |x - a| < \delta \)।
(iii) बायीं ओर से (\( x \to a^- \) from the left)
यदि चर \( x, a \) की ओर इस प्रकार अग्रसर हो कि \( x \) सदैव \( a \) से छोटा रहे अर्थात् \( a – x \) धनात्मक और किसी भी छोटी से छोटी धनात्मक राशि से छोटा हो, तब हम कह सकते हैं कि \( x, a \) की ओर बायीं ओर से अग्रसर है और इसे हम संकेत \( x \to a^- \) या \( x \to a – 0 \) से व्यक्त करते हैं।
(iv) दायीं ओर से (\( x \to a^+ \) from the right)
यदि चर \( x, a \) की ओर इस प्रकार अग्रसर हो कि \( x \) सदैव \( a \) से बड़ा रहे अर्थात् \( x – a \) धनात्मक और किसी भी छोटी से छोटी धनात्मक राशि से छोटा हो, तब हम कहेंगे कि \( x, a \) की ओर दायीं ओर से अग्रसर है और इसे हम संकेत \( x \to a^+ \) या \( x \to a + 0 \) से व्यक्त करते हैं।
(v) \( x \to \infty \) का अर्थ (Meaning of \( x \to \infty \))
यदि एक चर \( x \) बिना किसी सीमा के अनिश्चित रूप से बढ़ता जाये तो \( x \) अनन्त की ओर अग्रसर कहलाता है और इसे संकेत \( x \to \infty \) से व्यक्त करते हैं। इसी प्रकार जब चर \( x \) अनिश्चित रूप से घटता है तब यह \( -\infty \) की ओर अग्रसर कहलाता है और इसे संकेत \( x \to -\infty \) से व्यक्त करते हैं।
(vi) \( f(x) \to l \) का अर्थ (Meaning of \( f(x) \to l \))
फलन \( f(x) \) के एक निश्चित सीमा की ओर अग्रसर होने के भाव को हम एक उदाहरण की सहायता से समझेंगे।
माना \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1}, x \neq 1 \)
चूँकि फलन \( x = 1 \) पर अपरिभाषित है। इसलिये जब \( x \neq 1, f(x) = x + 1 \)
अब हम, जब \( x, 1 \) के नजदीक व नजदीकतम पहुँचेगा तब \( f(x) \) के मानों की जांच करेंगे।
| \( x \to 1^- \) | 0 | 0.1 | 0.4 | 0.8 | 0.9 | 0.99 | 0.999 | 0.99999 | \( \to 1 \) |
| \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} \) | 1 | 1.1 | 1.4 | 1.8 | 1.9 | 1.99 | 1.999 | 1.99999 | \( \to 2 \) |
यह सारणी बताती है कि जब \( x, 1 \) से कम मानों को ग्रहण करते हुये 1 की ओर अग्रसर होता है, लेकिन \( x \neq 1 \), तो \( f(x) \) का मान 2 से कम मानों को ग्रहण करते हुये 2 की ओर अग्रसर होता है। इसी निष्कर्ष को ध्यान में रखते हुये हम \( x \) के 1 से अधिक मानों को ग्रहण करते हुये 1 की ओर अग्रसर होने पर \( f(x) \) के मानों की जांच करेंगे:
| \( x \to 1^+ \) | 2 | 1.9 | 1.6 | 1.1 | 1.01 | 1.001 | 1.0001 | 1.000001 | \( \to 1 \) |
| \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} \) | 3 | 2.9 | 2.6 | 2.1 | 2.01 | 2.001 | 2.0001 | 2.000001 | \( \to 2 \) |
हम उपरोक्त दोनों स्थितियों में देखते हैं कि जब \( x \to 1 \) की ओर अग्रसर होता है तो \( f(x) \) का मान 2 की ओर अग्रसर होता है। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि \( x \) को 1 के पर्याप्त नजदीक लेकर \( f(x) \) को 2 के जितने नजदीक लाना चाहें ला सकते हैं।
फलन की सीमा (Limit of a function)
माना \( f(x) \) एक फलन है तब \( x \) के \( a \) की ओर अग्रसर होने पर एक निश्चित संख्या \( l \) फलन \( f(x) \) की सीमा कहलाती है यदि प्रत्येक धनात्मक संख्या \( \epsilon \) (चाहे यह कितनी भी छोटी हो) वहाँ एक धनात्मक संख्या \( \delta \) इस प्रकार विद्यमान होगी कि जब \( 0 < |x - a| < \delta \) तब \( |f(x) - l| < \epsilon \)।
\[ \lim_{x \to a} f(x) = l \]अनिर्धार्य रूप (Indeterminate forms)
यदि फलन \( f(x) \) किसी निश्चित मान के लिये \( \frac{0}{0} \) रूप ग्रहण कर लेता है, तो यह रूप अनिर्धार्य रूप कहलाता है।
अन्य अनिर्धार्य रूप निम्न हैं: \( \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, \infty – \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0 \)।
एक पक्षीय सीमा (One sided limit)
(i) बायीं सीमा (Left hand limit)
जब फलन \( f(x) \) का मान \( x \) के \( a \) के बायीं ओर से अर्थात् \( a \) से छोटे मानों को ग्रहण करते हुये \( a \) की ओर अग्रसर होने पर, जिस निश्चित संख्या \( l \) की ओर अग्रसर होता है वह फलन \( f(x) \) की \( x \to a \) पर बायीं सीमा कहलाती है।
इसे \( \lim_{x \to a^-} f(x) \) या \( f(a-0) \) या \( \lim_{h \to 0} f(a-h) \) से व्यक्त करते हैं।
(ii) दायीं सीमा (Right hand limit)
जब फलन \( f(x) \) का मान \( x \) के \( a \) के दायीं ओर से अर्थात् \( a \) से बड़े मानों को ग्रहण करते हुये \( a \) की ओर अग्रसर होने पर, जिस निश्चित संख्या \( l’ \) की ओर अग्रसर होता है वह फलन \( f(x) \) की \( x \to a \) पर दायीं सीमा कहलाती है।
इसे \( \lim_{x \to a^+} f(x) \) या \( f(a+0) \) या \( \lim_{h \to 0} f(a+h) \) से व्यक्त करते हैं。
सीमा का विद्यमान होना (Existence of Limit)
फलन \( f(x) \) की \( x \to a \) पर सीमा विद्यमान कहलाती है यदि \( x \to a \) पर फलन \( f(x) \) की बायीं व दायीं दोनों सीमायें विद्यमान हों और बराबर हों अर्थात्:
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = l \]
तभी \( \lim_{x \to a} f(x) = l \) विद्यमान होगी।
Graphical representation showing L.H.L and R.H.L approaching a limiting value.
सीमाओं पर प्रमेय (Theorems on Limits)
माना \( \lim_{x \to a} f(x) = l \) तथा \( \lim_{x \to a} g(x) = l’ \), यदि \( l \) व \( l’ \) दोनों विद्यमान हों तब:
- (i) \( \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = l \pm l’ \)
- (iii) \( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = l \cdot l’ \)
- (iv) \( \lim_{x \to a} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{l}{l’} \) (जहाँ \( l’ \neq 0 \))
- (v) \( \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot l \)
- (ix) \( \lim_{x \to a} [f(g(x))] = f(\lim_{x \to a} g(x)) = f(l’) \)
- (xi) \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(1/x) \)
एल-हॉस्पिटल नियम (L’Hospital’s Rule)
यदि फलन \( \frac{f(x)}{g(x)} \) सीमा \( x \to a \) पर \( \frac{0}{0} \) या \( \frac{\infty}{\infty} \) रूप ग्रहण करता है, तब:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
यदि यह फिर से अनिर्धार्य रूप में है तो हम नियम को पुनः लागू कर सकते हैं।
कुछ मानक फलनों के विस्तार (Expansions of some standard functions)
- (i) \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots \)
- (iii) \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)
- (iv) \( \log(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4} + \dots \)
- (vi) \( \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \dots \)
- (vii) \( \cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \dots \)
- (viii) \( \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots \)
कुछ महत्वपूर्ण सीमाएँ (SOME IMPORTANT LIMITS)
- (1) \( \lim_{x \to a} \frac{x^n – a^n}{x – a} = n a^{n-1} \)
- (2) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \)
- (3) \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} = \log_e a \)
- (4) \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1 \)
- (5) \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e \)
- (6) \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \)
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) – Limits
सीमा (Limits) – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions)
01. \( \lim_{x \to 1} \left[ \frac{\log x}{x – 1} \right] \) का मान है-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) \( \infty \)
02. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} \right) \) का मान है-
(A) \( \frac{c}{f} \) (B) \( \frac{a}{d} \) (C) \( \frac{b}{e} \) (D) इनमें से कोई नहीं
03. \( \lim_{x \to a} \left( \frac{x^{2/3} – a^{2/3}}{x^{1/3} – a^{1/3}} \right) \) का मान है-
(A) \( a^{1/3} \) (B) \( 2a^{1/3} \) (C) \( -a^{1/3} \) (D) इनमें से कोई नहीं
04. \( \lim_{x \to 1} \left( \frac{x^m – 1}{x^n – 1} \right) \) का मान है-
(A) \( \frac{m}{n} \) (B) 0 (C) \( m – n \) (D) इनमें से कोई नहीं
05. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x – b^x}{x} \right) \) का मान है-
(A) \( \log(a/b) \) (B) \( \log(b/a) \) (C) \( \log(ab) \) (D) \( -\log(ab) \)
06. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 – \cos x}{x^2} \right) \) बराबर है-
(A) 2 (B) \( \frac{1}{2} \) (C) 4 (D) \( \frac{1}{4} \)
07. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x + e^{-x} – 2}{x^2} \right) \) का मान है-
(A) -1 (B) 1 (C) 0 (D) इनमें से कोई नहीं
08. \( \lim_{x \to \infty} x [\sqrt{x^2 + a^2} – x] \) बराबर है-
(A) \( a \) (B) \( \frac{a^2}{2} \) (C) \( 2a \) (D) \( \infty \)
09. \( \lim_{x \to 1} \frac{(2x – 3)(\sqrt{x} – 1)}{2x^2 + x – 3} \) बराबर है-
(A) \( -\frac{1}{10} \) (B) \( \frac{1}{10} \) (C) \( \frac{1}{20} \) (D) \( -\frac{1}{20} \)
10. \( \lim_{x \to 2} \frac{|x – 2|}{x – 2} \) बराबर है-
(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) विद्यमान नहीं
11. \( \lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 + x^3 + \dots + x^n – n}{x – 1} \) का मान है-
(A) \( n \) (B) 0 (C) 1 (D) \( \frac{n(n+1)}{2} \)
12. \( \lim_{x \to -1} \left[ \frac{x^3 + 1}{x + 1} \right] \) का मान है-
(A) \( \infty \) (B) 1 (C) -1 (D) 3
13. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x^\circ}{x} \right) \) का मान है-
(A) 0 (B) 1 (C) \( \frac{\pi}{180} \) (D) 3
14. \( \lim_{x \to 3^+} [x] \) बराबर है-
(A) 2 (B) 3 (C) -3 (D) विद्यमान नहीं
15. \( \lim_{x \to 2^-} [x] \) बराबर है-
(A) 2 (B) 3 (C) 1 (D) विद्यमान नहीं
16. \( \lim_{x \to 2^+} (x – [x]) \) बराबर है-
(A) 2 (B) 3 (C) 0 (D) विद्यमान नहीं
17. \( \lim_{x \to \infty} [\log(2x + 1) – \log(x + 2)] \) का मान होगा-
(A) 0 (B) \( e \) (C) \( \log 2 \) (D) \( -\log 2 \)
18. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n \) का मान होगा-
(A) \( e^x \) (B) \( e^n \) (C) 0 (D) \( e \)
19. \( \lim_{x \to \infty} [\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} – \sqrt{x}] \) का मान होगा-
(A) 0 (B) \( \infty \) (C) \( e \) (D) \( \frac{1}{2} \)
20. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2} \right] \) बराबर होगा-
(A) \( \frac{1}{2} \) (B) \( \frac{1}{3} \) (C) 2 (D) 0
21. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \sqrt{1 – \cos 2x}}{x} \) बराबर होगा-
(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) विद्यमान नहीं
22. \( \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} – \sqrt{x}}{h} \) बराबर है-
(A) \( x \) (B) \( 2x \) (C) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) (D) \( \frac{1}{x} \)
23. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \right] \) का मान है-
(A) 0 (B) \( \frac{1}{2} \) (C) \( \frac{1}{3} \) (D) \( \infty \)
24. फलन \( f(x) = \frac{|x – a|}{x – a} \) की \( x \to a \) पर बायीं सीमा (Left Hand Limit) होगी-
(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) \( \infty \)
25. फलन \( f(x) = \frac{|x – a|}{x – a} \) की \( x \to a \) पर दायीं सीमा (Right Hand Limit) होगी-
(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) \( \infty \)
26. \( \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^{1/3} – x^{1/3}}{h} \) का मान होगा-
(A) \( \frac{1}{3} x^{-2/3} \) (B) \( \frac{1}{3} x^{2/3} \) (C) \( x^{1/3} \) (D) \( \frac{2}{3} x \)
27. यदि \( f(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases} \) हो तो \( \lim_{x \to 0} f(x) \) का मान होगा-
(A) 1 (B) 2 (C) विद्यमान नहीं (D) -1
28. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} \right] \) का मान है-
(A) 1 (B) \( \frac{3}{2} \) (C) 2 (D) -2
29. \( \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 – 1}{4n^2 + n – 1} \) बराबर है-
(A) \( \frac{3}{4} + 1 \) (B) \( \frac{3}{4} \) (C) \( \frac{1}{4} \) (D) 0
30. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} \right] \) बराबर है-
(A) 0 (B) 1 (C) \( \frac{1}{2} \) (D) \( \frac{1}{3} \)
31. \( \lim_{n \to \infty} \left[ 5^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 5^{1/8} \dots 5^{1/2^n} \right] \) बराबर है-
(A) \( 5^{1/2} \) (B) 5 (C) 25 (D) 1
32. \( \lim_{n \to \infty} \left[ 3 \cdot 3^{1/2} \cdot 3^{1/4} \cdot 3^{1/8} \dots 3^{1/2^n} \right] \) बराबर है-
(A) 3 (B) \( 3^{1/2} \) (C) \( \frac{1}{3} \) (D) 9
33. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 2}{x – 3} \right)^x \) बराबर है-
(A) 0 (B) \( e \) (C) \( \frac{1}{e} \) (D) 1
34. निम्न में कौनसी सीमा विद्यमान है-
(A) \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \) (B) \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \) (C) \( \lim_{x \to \pi/2} \tan x \) (D) \( \lim_{x \to 0} 2^{1/x} \)
35. \( \lim_{x \to \pi/2} (1 + \cos x)^{5 \sec x} \) का मान है-
(A) 0 (B) 1 (C) \( e \) (D) \( e^5 \)
36. \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) – 2f(x) + f(x – h)}{h^2} \) बराबर है-
(A) \( 2f”(x) \) (B) \( f”(x) \) (C) \( \frac{f”(x)}{2} \) (D) विद्यमान नहीं
37. यदि \( f(x) = \begin{cases} 5x – 3, & 0 \le x < 1 \\ x^2 + 1, & 1 \le x \le 2 \end{cases} \) हो तब \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \) है-
(A) -3 (B) 2 (C) 1 (D) विद्यमान नहीं
38. यदि \( f(x) = \begin{cases} 4x + 3, & 0 \le x < 1 \\ 9x - 2, & 1 \le x \le 2 \end{cases} \) हो तब \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \) है-
(A) 0 (B) 3 (C) 7 (D) -2
39. \( \lim_{x \to -\infty} x (\sqrt{x^2 + 1} + x) \) बराबर है-
(A) \( \frac{1}{2} \) (B) \( -\frac{1}{2} \) (C) 1 (D) -1
40. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 – 2x + 3}{x^2 – 3x + 2} \right)^x \) का मान है-
(A) \( e \) (B) \( e^2 \) (C) \( \frac{2}{3} \) (D) \( e^3 \)
41. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right)^{1/x^2} \) का मान है-
(A) 0 (B) \( e^{1/3} \) (C) \( e \) (D) 1
42. \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + \sin x}{x^2 – x} \) का मान है-
(A) 0 (B) 2 (C) \( \infty \) (D) विद्यमान नहीं
43. \( \lim_{x \to \infty} 2x \sin\left(\frac{a}{2x}\right) \) बराबर है-
(A) \( \frac{1}{a} \) (B) \( a \) (C) \( 2a \) (D) \( a^2 \)
44. यदि \( f(x) = x^{1/x} \) हो तो \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) का मान है-
(A) 0 (B) 1 (C) \( \infty \) (D) \( -\infty \)
45. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin px}{\sin qx} \) बराबर है-
(A) \( \frac{r}{q-p} \) (B) \( \frac{p}{q} \) (C) \( \frac{q}{p} \) (D) 1
46. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{an^3 + bn^2 + cn + d} \) का मान है-
(A) \( \frac{1}{3a} \) (B) 1 (C) 2 (D) \( \infty \)
47. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right] \) का मान है-
(A) 0 (B) \( \frac{1}{2} \) (C) \( \frac{2}{3} \) (D) 1
48. \( \lim_{n \to \infty} \left[ 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{9} – \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}} \right] \) बराबर है-
(A) \( \frac{1}{4} \) (B) \( \frac{1}{2} \) (C) \( \frac{3}{4} \) (D) 1
49. \( \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 1} – n) \) बराबर है-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) \( \infty \)
50. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^2 – 2x + 5}{x^3 + 8x – 3} \right) \) बराबर है-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) \( \infty \)
51. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 6}{x + 1} \right)^x \) बराबर है-
(A) \( e^3 \) (B) \( e^5 \) (C) \( e^{-3} \) (D) \( e^{-5} \)
52. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 2x – 1}{x^2 – 2x + 1} \right)^x \) का मान है-
(A) \( e^4 \) (B) \( \frac{1}{2} \) (C) 1 (D) \( 2e \)
53. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 5}{x^2 – 5} \right)^{x^2} \) बराबर है-
(A) 52 (B) \( e^5 \) (C) \( e^{10} \) (D) \( e^{-10} \)
54. \( \lim_{x \to \infty} x^{5/x} \) बराबर है-
(A) 0 (B) 1 (C) \( e^5 \) (D) \( e^{-5} \)
55. \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^3}{n^4} + \frac{2^3}{n^4} + \frac{3^3}{n^4} + \dots + \frac{n^3}{n^4} \right) \) का मान है-
(A) 1 (B) 0 (C) \( \frac{1}{4} \) (D) इनमें से कोई नहीं
56. यदि \( f(a) = 2, f'(a) = 1, g(a) = -1, g'(a) = 2 \) तो \( \lim_{x \to a} \frac{g(x)f(a) – g(a)f(x)}{x – a} \) बराबर है-
(A) -5 (B) 0 (C) 5 (D) \( \frac{1}{5} \)
57. \( \lim_{x \to \pi/2} (1 + \cos x)^{2 \sec x} \) का मान है-
(A) \( e^{-2} \) (B) \( 2e \) (C) \( e^2 \) (D) \( 4e \)
58. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots \text{to } n \text{ terms} \right] \) बराबर है-
(A) \( \frac{1}{6} \) (B) \( \frac{1}{2} \) (C) \( -\frac{1}{6} \) (D) 0
59. \( \lim_{x \to 3} \frac{x^n – 3^n}{x – 3} = 27 \) हो तब \( n \) का मान है-
(A) 4 (B) 5 (C) 3 (D) 2
60. \( \lim_{x \to \pi/4} \frac{\tan^3 x – 1}{\tan^2 x – 1} \) बराबर है-
(A) \( \frac{3}{2} \) (B) \( \infty \) (C) -1 (D) विद्यमान नहीं
61. \( \lim_{x \to 0} \frac{2^x – 1}{\sqrt{1 + x} – 1} \) बराबर है-
(A) \( \frac{1}{3} \log 2 \) (B) \( 2 \log 2 \) (C) 2 (D) 3
62. \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{4}{x} \right)^x \) बराबर है-
(A) 0 (B) \( e^4 \) (C) \( e \) (D) 1
63. \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots \right) \) पदों तक बराबर है-
(A) 0 (B) \( \infty \) (C) \( \frac{1}{3} \) (D) \( \frac{1}{4} \)
64. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 6}{x + 1} \right)^{x+4} \) का मान है-
(A) \( e^5 \) (B) \( e^{-5} \) (C) \( e^6 \) (D) \( e^4 \)
65. \( \lim_{x \to a} \frac{\sqrt{3x – a} – \sqrt{x + a}}{x – a} \) बराबर है-
(A) \( \frac{1}{\sqrt{2a}} \) (B) \( \frac{1}{2\sqrt{a}} \) (C) \( \frac{2}{\sqrt{3a}} \) (D) इनमें से कोई नहीं
66. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x \sqrt{\cos 2x}}{x^2} \) बराबर है-
(A) 1 (B) \( \frac{3}{2} \) (C) \( \frac{1}{2} \) (D) 2
67. यदि \( \lim_{x \to 0} \frac{a e^x – b \cos x + c e^{-x}}{x \sin x} = 2 \) हो तो क्रमशः \( a, b, c \) के मान हैं-
(A) 1, 1, 2 (B) 1, 2, 1 (C) 2, 1, 1 (D) 1, 1, 1
पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous Year Questions – Limits)
गणित (MATHEMATICS)
Study Material for Examination for the post of Sr.Teacher Grade II RPSC
सीमा (Limits)
पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions)
01. अचर \( p \) तथा \( q \) का मान इस प्रकार है कि \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} – px – q \right) = 0 \) है- H-TET 2008
The value of constants \( p \) and \( q \) so that \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} – px – q \right) = 0 \) is
(A) \( p = 1, q = -1 \) (B) \( p = -1, q = 1 \) (C) \( p = 0, q = 0 \) (D) \( p = 3, q = -1 \)
02. \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \) (n पूर्णांक) हेतु- H-TET 2008
\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \) (n integer) for
(A) n का कोई मान नहीं (no value of n)
(B) n के समस्त पूर्णांक मानों के लिए (all values of n)
(C) केवल n के ऋणात्मक मान (only negative values of n)
(D) केवल n के धनात्मक मान (only positive values of n)
03. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1^{1/x} + 2^{1/x} + 3^{1/x} + \dots + n^{1/x}}{n} \right)^{nx} \) बराबर है- H-TET 2008
\( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1^{1/x} + 2^{1/x} + 3^{1/x} + \dots + n^{1/x}}{n} \right)^{nx} \) is equal to
(A) \( (n!)^n \) (B) \( n! \) (C) \( (n!)^{1/n} \) (D) \( \log(n!) \)
04. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\int_{0}^{x^2} e^{t^2} dt}{e^{x^4}} \) बराबर है- H-TET 2008
\( \lim_{x \to \infty} \frac{\int_{0}^{x^2} e^{t^2} dt}{e^{x^4}} \) is equal to
(A) \( \infty \) (B) 0 (C) \( 1/2 \) (D) 1
05. \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x – 2x \tan x}{(1 – \cos 2x)^2} \) बराबर है- H-TET 2008
\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x – 2x \tan x}{(1 – \cos 2x)^2} \) is equal to
(A) 2 (B) \( -2 \) (C) \( 1/2 \) (D) \( -1/2 \)
06. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 2x^2 – 6x + 12}{x^2 – 2x} \) बराबर है- H-TET 2008
\( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 2x^2 – 6x + 12}{x^2 – 2x} \) is equal to
(A) 8 (B) 4 (C) 16 (D) 2
07. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \tan x}{1 + \sin x} \right)^{\csc x} \) का मान है- H-TET 2008
The value of \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \tan x}{1 + \sin x} \right)^{\csc x} \) is
(A) 1 (B) \( e \) (C) \( e^{-1} \) (D) \( e^{1/2} \)
08. यदि \( f(x) = \frac{x^2 \sin(1/x) – x}{1 – |x|} \) तो \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) है- H-TET 2008, 09
If \( f(x) = \frac{x^2 \sin(1/x) – x}{1 – |x|} \) then \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) is
(A) 0 (B) \( \infty \) (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
09. यदि \( \lim_{x \to a} \frac{x^x – a^a}{x – a} = e \) तो \( a \) का मान है- H-TET 2008
If \( \lim_{x \to a} \frac{x^x – a^a}{x – a} = e \) then the value of \( a \) is
(A) 0 (B) \( e \) (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
10. यदि \( [x], x \) से छोटा अथवा बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है, तो \( \lim_{n \to \infty} \frac{[x] + [2x] + \dots + [nx]}{n^2} \)- H-TET 2008
If \( [x] \) denotes the greatest integer less than or equal to x, then \( \lim_{n \to \infty} \frac{[x] + [2x] + \dots + [nx]}{n^2} \) is
(A) \( x/2 \) (B) \( x/3 \) (C) \( x \) (D) 0
11. \( \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \cos t^2 dt}{x \sin x} \) का मान है- H-TET 2008, K.V. 2017
The value of \( \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \cos t^2 dt}{x \sin x} \) is
(A) 0 (B) \( -1 \) (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
12. \( \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{n^2}{n+1} – \frac{n^2}{n-1} \right\} \) बराबर है- H-TET 2008
\( \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{n^2}{n+1} – \frac{n^2}{n-1} \right\} \) is equal to
(A) 0 (B) \( -1/2 \) (C) \( 1/2 \) (D) 1
13. \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^{1/x} – 1}{e^{1/x} + 1} \) बराबर है- RAS Mains 2009
\( \lim_{x \to \infty} \frac{e^{1/x} – 1}{e^{1/x} + 1} \) is equal to
(A) 1 (B) \( -1 \) (C) 0 (D) विद्यमान नहीं
14. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)^{1/x} \) है- S. TET 2009
\( \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)^{1/x} \) is
(A) \( abc \) (B) \( (abc)^{1/2} \) (C) \( (abc)^{1/3} \) (D) इनमें से कोई नहीं
15. \( \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x)^{1/2} – (\cos x)^{1/3}}{\sin^2 x} \) है- S. TET 2009
\( \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x)^{1/2} – (\cos x)^{1/3}}{\sin^2 x} \) is
(A) \( 1/6 \) (B) \( -1/12 \) (C) \( 2/3 \) (D) \( 1/3 \)
16. \( \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{8}\right) \dots \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) \) है- S. TET 2009, H-TET 2008
\( \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{8}\right) \dots \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) \) is
(A) 1 (B) \( \frac{\sin x}{x} \) (C) \( \sin x \) (D) इनमें से कोई नहीं
17. \( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin x – (\sin x)^{\sin x}}{1 – \sin x + \log(\sin x)} \) है- S. TET 2009
\( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin x – (\sin x)^{\sin x}}{1 – \sin x + \log(\sin x)} \) is
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) इनमें से कोई नहीं
18. यदि \( a, b, c, d \) धनात्मक हैं, तो \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{c}{ax + b} \right)^{dx} \)- S. TET 2009
If \( a, b, c, d \) are positive then \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{c}{ax + b} \right)^{dx} \)
(A) \( e^{d/b} \) (B) \( e^{c/a} \) (C) \( e^{(c+d)/(a+b)} \) (D) \( e^{cd/a} \)
19. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right] \) बराबर है- RAS Mains 2009, I Grade RPSC 2012
\( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right] \) is equal to
(A) \( -1 \) (B) \( 1/3 \) (C) \( 1/2 \) (D) \( 1/4 \)
20. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \)= SSC INVESTIGATOR 2010
(A) \( e \) (B) \( e^{3/2} \) (C) \( e^{2/3} \) (D) \( 1/e \)
21. यदि \( f(x) = \frac{2\sin(x-1)}{x-1} \), तो \( \lim_{x \to 2} f(x) \) है- SSC INVESTIGATOR 2010
If \( f(x) = \frac{2\sin(x-1)}{x-1} \) then \( \lim_{x \to 2} f(x) \) is
(A) \( -2 \) (B) \( -1 \) (C) 0 (D) 1
22. \( \lim_{h \to 0} \frac{2[\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6} + h) – \cos(\frac{\pi}{6} + h)]}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h – \sin h)} \) SSC INVESTIGATOR 2010
(A) \( 2/3 \) (B) \( 4/3 \) (C) \( -2/3 \) (D) \( -4/3 \)
23. यदि \( f(a) = 2, f'(a) = 1, g(a) = -1, g'(a) = 2 \) तो \( \lim_{x \to a} \frac{g(x)f(a) – g(a)f(x)}{x – a} \) SSC INVESTIGATOR 2010
If \( f(a) = 2, f'(a) = 1, g(a) = -1, g'(a) = 2 \) then \( \lim_{x \to a} \frac{g(x)f(a) – g(a)f(x)}{x – a} \) is
(A) \( -5 \) (B) 0 (C) 5 (D) \( 1/5 \)
24. डी-एल-हॉस्पिटल नियम (D.L. Hospital Rule) का उपयोग करने पर \( \lim_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x^3} \) का मान है- II Grade RPSC 2010
Using D.L. Hospital rule value of limit \( \lim_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x^3} \) is :
(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/6
25. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \) बराबर है- II Grade RPSC 2011, H. TET (2016)
\( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \) is equal to :
(A) \( e \) (B) \( e^3 \) (C) \( e^2 \) (D) \( 1/e^2 \)
26. \( \lim_{x \to 2} \frac{|x – 2|}{x – 2} \) बराबर है- I Grade RPSC 2012
\( \lim_{x \to 2} \frac{|x – 2|}{x – 2} \) is equal to :
(A) 1 (B) \( -1 \) (C) 0 (D) विद्यमान नहीं (Does not exist)
27. \( \lim_{x \to 0} \left[ \tan\left( \frac{\pi}{4} + x \right) \right]^{1/x} \) H.TET 2013
(A) \( e \) (B) \( e^2 \) (C) \( e \) (D) इनमें से कोई नहीं
28. यदि \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin px}{\tan 3x} = 4 \) हो, तो \( p \) का मान है- H.TET 2013
If \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin px}{\tan 3x} = 4 \), then \( p \) is equal to :
(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 4
29. \( \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) = \) H.TET 2013
(A) 0 (B) 1/2 (C) \( \infty \) (D) 2
30. यदि \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = 1 \) तो \( f(x) = \) I Grade July 14, H.TET 17
If \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = 1 \), then \( f(x) = \)
(A) \( 2x \) (B) \( -4x \) (C) \( 2x^2 \) (D) \( x \)
31. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2}, n \in N \) इसके बराबर है- PGT 2014
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2}, n \in N \) is equal to
(A) 0 (B) 1 (C) 1/2 (D) 1/4
32. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \) सीमा का मूल्य बराबर है- PGT 2014
Value of the limit \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \) is equal to
(A) 1 (B) 0 (C) परिभाषित नहीं किया गया है (Not defined) (D) इनमें से कोई नहीं (None of these)
33. \( \lim_{n \to \infty} [\log(n+1) – \log n] \) का मूल्य है- PGT 2014
Value of the \( \lim_{n \to \infty} [\log(n+1) – \log n] \) is
(A) \( e \) (B) 1 (C) 0 (D) इनमें से कोई नहीं
34. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^x \) H-TAT 2014, H-TAT 2016
(A) \( e^4 \) (B) \( e^3 \) (C) \( e^{12} \) (D) \( e^{-2} \)
35. \( \lim_{\alpha \to \beta} \frac{\sin^2 \alpha – \sin^2 \beta}{\alpha^2 – \beta^2} \) H-TAT 2014
(A) \( \frac{\sin \beta}{\beta} \) (B) \( \frac{\sin 2\beta}{2\beta} \) (C) 0 (D) 1
36. माना \( \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \) तथा \( \beta = \lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}{n^4} \), तो : II Grade RPSC 2014, H-TAT 2017
Let \( \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \) and \( \beta = \lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}{n^4} \), then :
(A) \( \alpha = \beta \) (B) \( \alpha < \beta \) (C) \( 4\alpha - 3\beta = 0 \) (D) \( 3\alpha - 4\beta = 0 \)
37. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1 – n^2} + \frac{2}{1 – n^2} + \frac{3}{1 – n^2} + \dots + \frac{n}{1 – n^2} \right] \) बराबर है- H. TET 2016
\( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1 – n^2} + \frac{2}{1 – n^2} + \frac{3}{1 – n^2} + \dots + \frac{n}{1 – n^2} \right] \) is equal to
(A) 0 (B) \( -1 \) (C) \( -2^{-1} \) (D) \( -3^{-1} \)
38. यदि \( \alpha, \beta \) समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूल हैं, तो \( \lim_{x \to \alpha} \frac{1 – \cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} \) बराबर है- H. TET (2016)
If \( \alpha, \beta \) are roots of equation \( ax^2 + bx + c = 0 \), then value of \( \lim_{x \to \alpha} \frac{1 – \cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} \) is
(A) \( \frac{a^2 (\alpha – \beta)^2}{2} \) (B) \( \frac{a (\alpha – \beta)^2}{2} \) (C) \( \frac{(\alpha – \beta)^2}{2} \) (D) 0
39. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 2x^2}{x^2 – 4x + 4} \) H. TET 2016
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) \( \infty \)
40. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x} = \) H. TET 2016
(A) 1 (B) \( -1 \) (C) \( -2 \) (D) 2
41. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \) बराबर है- H. TET 2016
\( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \) is equal to :
(A) 0 (B) \( \infty \) (C) \( e^2 \) (D) \( e^{-2} \)
42. यदि \( \lim_{x \to 3} \frac{x^n – 3^n}{x – 3} = 108, n \in N \) है, तो n का मान है- Navodaya Dec. 2016
If \( \lim_{x \to 3} \frac{x^n – 3^n}{x – 3} = 108, n \in N \), then value of n is
(A) 5 (B) 4 (C) 6 (D) 2
43. \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \) बराबर है- I Grade July, 2016
\( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \) is equal to
(A) \( e \) (B) \( e^2 \) (C) \( 1/e \) (D) \( 1/e^2 \)
44. यदि \( f'(c) \) विद्यमान है और अशून्य है, तब \( \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) – f(c-h)}{h} \) बराबर है- I Grade July, 2016
If \( f'(c) \) exists and non-zero, then \( \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) – f(c-h)}{h} \) is equal to
(A) 0 (B) \( f'(c) \) (C) \( 2f'(c) \) (D) \( f'(c) + f(c) \)
45. यदि \( \lim_{x \to 0} (x \cot kx) = \lim_{x \to 0} (kx \cot x) \) तो k का मान है- RPSC II Grade 30-06-2017
If \( \lim_{x \to 0} (x \cot kx) = \lim_{x \to 0} (kx \cot x) \) then k is equal to
(A) केवल 1 (only 1) (B) केवल -1 (only -1) (C) \( \pm 1 \) (D) \( \pm 1/2 \)
46. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right) \) H-TAT 2017
(A) \( 1/3 \) (B) \( 2/3 \) (C) \( 3/2 \) (D) \( 1/2 \)
47. \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x – b^x}{e^x – 1} \) का मान है- RPSC II Grade 2018
\( \lim_{x \to 0} \frac{a^x – b^x}{e^x – 1} \) is equal to :
(A) \( \log(a/b) \) (B) \( \log(b/a) \) (C) \( \log(ab) \) (D) \( \log(a+b) \)
49. यदि \( \lim_{x \to 0} \left(x \sin \frac{1}{x} \right) = A \) और \( \lim_{x \to \infty} \left(x \sin \frac{1}{x}\right) = B \) है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है- U.P. II Grade 29 July, 2018
If \( \lim_{x \to 0} \left(x \sin \frac{1}{x}\right) = A \) and \( \lim_{x \to \infty} \left(x \sin \frac{1}{x}\right) = B \) then which of the following is true?
(A) A = B = 0 (B) A = 0 और B = \( \infty \) (C) A = 1 और B = \( \infty \) (D) A = 0 और B = 1
50. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \) बराबर है- U.P. II Grade 29 July, 2018
\( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \) is equal to
(A) \( e \) (B) \( e^a \) (C) \( e^{2a} \) (D) 0
51. \( \lim_{x \to y} \frac{x^y – y^x}{x^x – y^y} = \) H-TAT 2019
(A) \( \frac{1 – \log_e y}{1 + \log_e y} \) (B) \( \frac{1 – \log_e y}{1 – \log_e y} \) (C) \( \frac{1 – \log_e y}{1 + \log_e y} \) (D) \( \frac{1 – \log_e y}{1 – \log_e y} \)
52. यदि \( \alpha, \beta \) समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूल हों, तो \( \lim_{x \to \alpha} \frac{1 – \cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} = \) H-TAT 2019
If \( \alpha, \beta \) are the roots of the equation \( ax^2 + bx + c = 0 \), then \( \lim_{x \to \alpha} \frac{1 – \cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} = \)
(A) \( \frac{a^2 (\alpha – \beta)^2}{2} \) (B) \( \frac{a (\alpha – \beta)^2}{2} \) (C) \( \frac{a^2 (\alpha – \beta)^2}{-2} \) (D) \( \frac{a (\alpha – \beta)^2}{-2} \)
53. यदि \( f \) तथा \( g \) दो बार अवकलनीय फलन हैं तथा \( f(p) = 3, f'(p) = -2, g(p) = -1, g'(p) = 4 \), तो : H-TAT 2019
If \( f \) and \( g \) are twice differentiable functions and \( f(p) = 3, f'(p) = -2, g(p) = -1, g'(p) = 4 \), then :
\( \lim_{x \to p} \frac{g(x)f(p) – g(p)f(x)}{x – p} \)
(A) 5 (B) \( -5 \) (C) \( -10 \) (D) 10
54. निम्न में से कौनसा कथन सत्य है- RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
Which of the following is true?
(A) \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} = 0 \) (B) \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{x} \right)^x = e \) (C) \( \lim_{x \to a} \frac{\log_a x – 1}{x – a} = \log_a e \) (D) \( \lim_{x \to a} \frac{\log_a x – 1}{x – a} = \log_e a \)
55. \( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin(\cos x)}{\cos x} \) बराबर है- NVS (PGT) JUNE 2019, Chandigarh (TGT) 2019
\( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin(\cos x)}{\cos x} \) is equal to:
(A) \( -\pi \) (B) \( \pi/2 \) (C) 1 (D) \( \pi \)
56. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\tan x} \) बराबर है- MP TET 2019
\( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\tan x} \) is equal to:
(A) 1 (B) 3/2 (C) 1/e (D) 0
57. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \) MP TET 2019
(A) 0 (B) 1/2 (C) \( -1/2 \) (D) \( -1 \)
58. \( \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x – \pi)^2} = \) MP TET 2019
(A) 1 (B) 3/2 (C) 3/4 (D) 1/2
59. \( \lim_{x \to 27} \frac{x^{1/3} – 3}{x – 27} = \) MP TET 2019
(A) 9 (B) 3 (C) 1/9 (D) 1/27
60. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n!)!} = \) Chandigarh (TGT) 2019
(A) \( e^{-2} \) (B) \( e^{-1} \) (C) 0 (D) \( e^2 \)
61. \( \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n – x^n}{h} = \) Chandigarh (TGT) 2019
(A) \( n x^{n-1} \) (B) \( n \) (C) \( nh \) (D) \( nx \)
62. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right) = \) Chandigarh (TGT) 2019
(A) \( -3/2 \) (B) \( -2/3 \) (C) 2/3 (D) 3/2
63. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+6}{x+1} \right)^{x+4} \) का मान है- H-TET 2019
The value of \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+6}{x+1} \right)^{x+4} \) is
(A) \( e^2 \) (B) \( e^3 \) (C) \( e^4 \) (D) \( e^5 \)
64. \( \lim_{x \to 2} \frac{1 – \cos(2(x-2))}{(x-2)^2} \) बराबर है- H-TET 2019
\( \lim_{x \to 2} \frac{1 – \cos(2(x-2))}{(x-2)^2} \) is equal to
(A) 2 (B) \( -2 \) (C) 1/2 (D) विद्यमान नहीं है
65. यदि समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के दोनों मूल \( \alpha \) के बराबर हैं तो \( \lim_{x \to \alpha} \frac{\sin^2(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} \) बराबर है- RPSC I Grade 2020
If both roots of the equation \( ax^2 + bx + c = 0 \) are equal to \( \alpha \), then \( \lim_{x \to \alpha} \frac{\sin^2(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} \) is equal to
(A) 0 (B) \( a \) (C) \( b \) (D) \( 2a\alpha + b \)
66. यदि \( \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^2+1}{x+1} – ax – b \right] \) परिमित है, तब- RPSC I Grade 2020
If \( \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^2+1}{x+1} – ax – b \right] \) is finite, then
(A) \( a = 0 \) (B) \( a = 1 \) (C) \( a = -1 \) (D) \( a > 1 \)
67. यदि \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) – \sin(x+b)}{x} = 1 \), तो \( a, b \) बराबर है- I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
If \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) – \sin(x+b)}{x} = 1 \), then \( a, b \) are equal to
(A) \( a = \pi/3, b = -\pi/2 \) (B) \( a = \pi/3, b = \pi/2 \) (C) \( a = -\pi/3, b = \pi/2 \) (D) \( a = \pi/3, b = \pi/3 \)
68. यदि \( f'(a) \) विद्यमान है तब \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a-h)}{h} \) का मान होगा- I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
If \( f'(a) \) exists then \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a-h)}{h} \) is equal to
(A) \( f'(a) \) (B) \( 2f'(a) \) (C) \( f'(a) + 2 \) (D) \( f'(a)/2 \)
69. \( \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right] \) बराबर है- ACF Feb. 2021
\( \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right] \) is equal to
(A) \( -1 \) (B) \( e \) (C) 1 (D) 2/3
70. यदि \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{1/x}} \), तब \( \lim_{x \to 0} f(x) \) है- College Lecturer Tech. Edu. 18.03.2021
If \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{1/x}} \), then \( \lim_{x \to 0} f(x) \) is
(A) \( e/3 \) (B) \( -e/3 \) (C) \( e/2 \) (D) विद्यमान नहीं (Does not exist)
71. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+6}{x+1} \right)^{x+4} \) बराबर है- [UP TGT 08.08.21]
\( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+6}{x+1} \right)^{x+4} \) is equal to
(A) 1 (B) \( e^2 \) (C) \( e^4 \) (D) \( e^5 \)
72. यदि \( \lim_{x \to a} \frac{x^x – a^a}{x – a} = e \), तो- [UP TGT 08.08.21]
If \( \lim_{x \to a} \frac{x^x – a^a}{x – a} = e \), then
(A) \( a = 1 \) (B) \( a = 0 \) (C) \( a = e \) (D) इनमें से कोई नहीं
73. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \) बराबर है- [UP TGT 08.08.21]
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \) is equal to
(A) 0 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) अस्तित्व में नहीं है
74. \( \lim_{y \to a} \sin(y-a) \tan\left(\frac{\pi y}{2a}\right) \) बराबर है- [UP TGT 08.08.21]
\( \lim_{y \to a} \sin(y-a) \tan\left(\frac{\pi y}{2a}\right) \) is equal to
(A) 0 (B) 1 (C) \( -2a/\pi \) (D) \( -a/\pi \)
75. \( \lim_{(x, y) \to (2, 1)} \frac{\sin(xy – 2)}{3xy – 6} \) का मान है- [UP PGT 18.08.21]
\( \lim_{(x, y) \to (2, 1)} \frac{\sin(xy – 2)}{3xy – 6} \) is equal to
(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1 (D) 2
76. यदि \( f(2) = 4 \) तथा \( f'(2) = 1 \) तो \( \lim_{x \to 2} \frac{x f(2) – 2f(x)}{x – 2} \) बराबर है- [UP PGT 18.08.21]
If \( f(2) = 4 \) and \( f'(2) = 1 \) then \( \lim_{x \to 2} \frac{x f(2) – 2f(x)}{x – 2} \) is equal to
(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 4
77. फलन \( f(x) = \frac{1 – \cos x}{x^2}, x \neq 0 \) को \( x = 0 \) पर सतत बनाया जा सकता है यदि \( f(0) \) को परिभाषित करें, \( f(0) = \)- [UP PGT 18.08.21]
The function \( f(x) = \frac{1 – \cos x}{x^2}, x \neq 0 \) can be made continuous at \( x = 0 \) by defining \( f(0) \) to be equal to
(A) 1 (B) 1/2 (C) 0 (D) 2
| Qus. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Ans | B | A | B | A | A | B | B | C | A | D | D | D | C | B | C |
| Qus. | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| Ans | D | C | A | D | A | D | C | C | B | A | A | A | A | B | C |
| Qus. | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |
| Ans | B | D | B | A | D | B | B | C | B | A | B | B | B | A | B |
| Qus. | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| Ans | A | D | C | A | A | B | A | C | B | C | C | C | B | C | A |
| Qus. | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | ||||||||
| Ans | B | B | C | A | A | B | B |
पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (PYQ – Limits)
पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions – Limits)
01. अचर \( p \) तथा \( q \) का मान इस प्रकार है कि \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} – px – q \right) = 0 \) है- [H-TET 2008]
The value of constants \( p \) and \( q \) so that \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} – px – q \right) = 0 \) is
(A) \( p = 1, q = -1 \) (B) \( p = -1, q = 1 \) (C) \( p = 0, q = 0 \) (D) \( p = 3, q = -1 \)
02. \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \) (\( n \) पूर्णांक) हेतु- [H-TET 2008]
\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \) (\( n \) integer) for
(A) \( n \) का कोई मान नहीं (no value of n)
(B) \( n \) के समस्त पूर्णांक मानों के लिए (all values of n)
(C) केवल \( n \) के ऋणात्मक मान (only negative values of n)
(D) केवल \( n \) के धनात्मक मान (only positive values of n)
03. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1^{1/x} + 2^{1/x} + 3^{1/x} + \dots + n^{1/x}}{n} \right)^{nx} \) बराबर है- [H-TET 2008]
(A) \( (n!)^n \) (B) \( n! \) (C) \( (n!)^{1/n} \) (D) \( \log(n!) \)
04. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\int_{0}^{x^2} e^{t^2} dt}{e^{x^4}} \) बराबर है- [H-TET 2008]
(A) \( \infty \) (B) 0 (C) \( 1/2 \) (D) 1
05. \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x – 2x \tan x}{(1 – \cos 2x)^2} \) बराबर है- [H-TET 2008]
(A) 2 (B) \( -2 \) (C) \( 1/2 \) (D) \( -1/2 \)
06. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 2x^2 – 6x + 12}{x^2 – 2x} \) बराबर है- [H-TET 2008]
(A) 8 (B) 4 (C) 16 (D) 2
07. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 + \tan x}{1 + \sin x} \right)^{\csc x} \) का मान है- [H-TET 2008]
(A) 1 (B) \( e \) (C) \( e^{-1} \) (D) \( e^{1/2} \)
08. यदि \( f(x) = \frac{x^2 \sin(1/x) – x}{1 – |x|} \) तो \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) है- [H-TET 2008, 09]
(A) 0 (B) \( \infty \) (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
09. यदि \( \lim_{x \to a} \frac{x^x – a^a}{x – a} = e \) तो \( a \) का मान है- [H-TET 2008]
(A) 0 (B) \( e \) (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
10. यदि \( [x], x \) से छोटा अथवा बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है, तो \( \lim_{n \to \infty} \frac{[x] + [2x] + \dots + [nx]}{n^2} \)- [H-TET 2008]
(A) \( x/2 \) (B) \( x/3 \) (C) \( x \) (D) 0
11. \( \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \cos t^2 dt}{x \sin x} \) का मान है- [H-TET 2008, K.V. 2017]
(A) 0 (B) \( -1 \) (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
12. \( \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{n^2}{n+1} – \frac{n^2}{n-1} \right\} \) बराबर है- [H-TET 2008]
(A) 0 (B) \( -1/2 \) (C) \( 1/2 \) (D) 1
13. \( \lim_{x \to \infty} \frac{e^{1/x} – 1}{e^{1/x} + 1} \) बराबर है- [RAS Mains 2009]
(A) 1 (B) \( -1 \) (C) 0 (D) विद्यमान नहीं
14. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x + b^x + c^x}{3} \right)^{1/x} \) है- [S. TET 2009]
(A) \( abc \) (B) \( (abc)^{1/2} \) (C) \( (abc)^{1/3} \) (D) इनमें से कोई नहीं
15. \( \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x)^{1/2} – (\cos x)^{1/3}}{\sin^2 x} \) है- [S. TET 2009]
(A) \( 1/6 \) (B) \( -1/12 \) (C) \( 2/3 \) (D) \( 1/3 \)
16. \( \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{4}\right) \cos\left(\frac{x}{8}\right) \dots \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) \) है- [S. TET 2009, H-TET 2008]
(A) 1 (B) \( \frac{\sin x}{x} \) (C) \( \sin x \) (D) इनमें से कोई नहीं
17. \( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin x – (\sin x)^{\sin x}}{1 – \sin x + \log(\sin x)} \) है- [S. TET 2009]
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) इनमें से कोई नहीं
18. यदि \( a, b, c, d \) धनात्मक हैं, तो \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{c}{ax + b} \right)^{dx} \)- [S. TET 2009]
(A) \( e^{d/b} \) (B) \( e^{c/a} \) (C) \( e^{(c+d)/(a+b)} \) (D) \( e^{cd/a} \)
19. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right] \) बराबर है- [RAS Mains 2009, I Grade RPSC 2012]
(A) \( -1 \) (B) \( 1/3 \) (C) \( 1/2 \) (D) \( 1/4 \)
20. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \) [SSC INVESTIGATOR 2010]
(A) \( e \) (B) \( e^{3/2} \) (C) \( e^{2/3} \) (D) \( 1/e \)
21. यदि \( f(x) = \frac{e^{2\sin(x-1)} – 1}{x-1} \), तो \( \lim_{x \to 2} f(x) \) है- [SSC INVESTIGATOR 2010]
(A) \( -2 \) (B) \( -1 \) (C) 0 (D) 1
22. \( \lim_{h \to 0} \frac{2[\sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{6} + h) – \cos(\frac{\pi}{6} + h)]}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h – \sin h)} \) [SSC INVESTIGATOR 2010]
(A) \( 2/3 \) (B) \( 4/3 \) (C) \( -2/3 \) (D) \( -4/3 \)
23. यदि \( f(a) = 2, f'(a) = 1, g(a) = -1, g'(a) = 2 \) तो \( \lim_{x \to a} \frac{g(x)f(a) – g(a)f(x)}{x – a} \) [SSC INVESTIGATOR 2010]
(A) \( -5 \) (B) 0 (C) 5 (D) \( 1/5 \)
24. डी-एल-हॉस्पिटल नियम (L’Hospital Rule) का उपयोग करने पर \( \lim_{x \to 0} \frac{x – \sin x}{x^3} \) का मान है- [II Grade RPSC 2010]
(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/6
25. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \) बराबर है- [II Grade RPSC 2011, H. TET 2016]
(A) \( e \) (B) \( e^3 \) (C) \( e^2 \) (D) \( 1/e^2 \)
26. \( \lim_{x \to 2} \frac{|x – 2|}{x – 2} \) बराबर है- [I Grade RPSC 2012]
(A) 1 (B) \( -1 \) (C) 0 (D) विद्यमान नहीं (Does not exist)
27. \( \lim_{x \to 0} \left[ \tan\left( \frac{\pi}{4} + x \right) \right]^{1/x} \) [H.TET 2013]
(A) \( e \) (B) \( e^2 \) (C) \( e \) (D) इनमें से कोई नहीं
28. यदि \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin px}{\tan 3x} = 4 \) हो, तो \( p \) का मान है- [H.TET 2013]
(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 4
29. \( \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+1} – x) = \) [H.TET 2013]
(A) 0 (B) 1/2 (C) \( \infty \) (D) 2
30. यदि \( \lim_{x \to 0} \left[ 1 + x + \frac{f(x)}{x} \right]^{1/x} = e^3 \) तो \( f(x) = \) [I Grade July 14, H.TET 17]
(A) \( 2x \) (B) \( -4x \) (C) \( 2x^2 \) (D) \( -4x^2 \)
31. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2}, n \in N \) इसके बराबर है- [PGT 2014]
(A) 0 (B) 1 (C) 1/2 (D) 1/4
32. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \) सीमा का मूल्य बराबर है- [PGT 2014]
(A) 1 (B) 0 (C) परिभाषित नहीं किया गया है (D) इनमें से कोई नहीं
33. \( \lim_{n \to \infty} [\log(n+1) – \log n] \) का मूल्य है- [PGT 2014]
(A) \( e \) (B) 1 (C) 0 (D) इनमें से कोई नहीं
34. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^x \) [H-TAT 2014, H-TAT 2016]
(A) \( e^4 \) (B) \( e^3 \) (C) \( e^{12} \) (D) \( e^{-2} \)
35. \( \lim_{\alpha \to \beta} \frac{\sin^2 \alpha – \sin^2 \beta}{\alpha^2 – \beta^2} \) [H-TAT 2014]
(A) \( \frac{\sin \beta}{\beta} \) (B) \( \frac{\sin 2\beta}{2\beta} \) (C) 0 (D) 1
36. माना \( \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \) तथा \( \beta = \lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}{n^4} \), तो : [II Grade RPSC 2014, H-TAT 2017]
(A) \( \alpha = \beta \) (B) \( \alpha < \beta \) (C) \( 4\alpha - 3\beta = 0 \) (D) \( 3\alpha - 4\beta = 0 \)
37. \( \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{1 – n^2} + \frac{2}{1 – n^2} + \dots + \frac{n}{1 – n^2} \right] \) बराबर है- [H. TET 2016]
(A) 0 (B) \( -1 \) (C) \( -2^{-1} \) (D) \( -3^{-1} \)
38. यदि \( \alpha, \beta \) समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूल हैं, तो \( \lim_{x \to \alpha} \frac{1 – \cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} \) बराबर है- [H. TET 2016]
(A) \( \frac{a^2 (\alpha – \beta)^2}{2} \) (B) \( \frac{a (\alpha – \beta)^2}{2} \) (C) \( \frac{(\alpha – \beta)^2}{2} \) (D) 0
39. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 4x}{x^2 – 4x + 4} \) [H. TET 2016]
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) \( \infty \)
40. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x} = \) [H. TET 2016]
(A) 1 (B) \( -1 \) (C) \( -2 \) (D) 2
41. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^n \) बराबर है- [H. TET 2016]
(A) 0 (B) \( \infty \) (C) \( e^2 \) (D) \( e^{-2} \)
42. यदि \( \lim_{x \to 3} \frac{x^n – 3^n}{x – 3} = 108, n \in N \) है, तो n का मान है- [Navodaya Dec. 2016]
(A) 5 (B) 4 (C) 6 (D) 2
43. \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \) बराबर है- [I Grade July, 2016]
(A) \( e \) (B) \( e^2 \) (C) \( 1/e \) (D) \( 1/e^2 \)
44. यदि \( f'(c) \) विद्यमान है और अशून्य है, तब \( \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) – f(c-h)}{h} \) बराबर है- [I Grade July, 2016]
(A) 0 (B) \( f'(c) \) (C) \( 2f'(c) \) (D) \( f'(c) + f(c) \)
45. यदि \( \lim_{x \to 0} (x \cot kx) = \lim_{x \to 0} (kx \cot x) \) तो k का मान है- [RPSC II Grade 30-06-2017]
(A) केवल 1 (B) केवल -1 (C) \( \pm 1 \) (D) \( \pm 1/2 \)
46. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right) \) [H-TAT 2017]
(A) \( 1/3 \) (B) \( 2/3 \) (C) \( 3/2 \) (D) \( 1/2 \)
47. \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x – b^x}{e^x – 1} \) का मान है- [RPSC II Grade 2018]
(A) \( \log(a/b) \) (B) \( \log(b/a) \) (C) \( \log(ab) \) (D) \( \log(a+b) \)
48. यदि \( \lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx – 1}{x – 2} = 3 \) हो, तो a, b का मान होगा- [U.P. II Grade 29 July, 2018]
(A) \( a = b = 3 \) (B) \( a \neq b \) (C) \( a = 0, b = 0 \) (D) \( a = 2, b = 1 \)
49. यदि \( \lim_{x \to 0} \left(x \sin \frac{1}{x} \right) = A \) और \( \lim_{x \to \infty} \left(x \sin \frac{1}{x}\right) = B \) है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है- [U.P. II Grade 29 July, 2018]
(A) A = B = 0 (B) A = 0 और B = \( \infty \) (C) A = 1 और B = \( \infty \) (D) A = 0 और B = 1
50. \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \) बराबर है- [U.P. II Grade 29 July, 2018]
(A) \( e \) (B) \( e^a \) (C) \( e^{2a} \) (D) 0
51. \( \lim_{x \to y} \frac{x^y – y^x}{x^x – y^y} = \) [H-TAT 2019]
(A) \( \frac{1 – \log_e y}{1 + \log_e y} \) (B) \( \frac{1 – \log_e y}{1 – \log_e y} \) (C) \( \frac{1 – \log_e y}{1 + \log_e y} \) (D) \( \frac{1 – \log_e y}{1 – \log_e y} \)
52. यदि \( \alpha, \beta \) समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूल हों, तो \( \lim_{x \to \alpha} \frac{1 – \cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} = \) [H-TAT 2019]
(A) \( \frac{a^2 (\alpha – \beta)^2}{2} \) (B) \( \frac{a (\alpha – \beta)^2}{2} \) (C) \( \frac{a^2 (\alpha – \beta)^2}{-2} \) (D) \( \frac{a (\alpha – \beta)^2}{-2} \)
53. यदि \( f \) तथा \( g \) दो बार अवकलनीय फलन हैं तथा \( f(p) = 3, f'(p) = -2, g(p) = -1, g'(p) = 4 \), तो : \( \lim_{x \to p} \frac{g(x)f(p) – g(p)f(x)}{x – p} \) [H-TAT 2019]
(A) 5 (B) \( -5 \) (C) \( -10 \) (D) 10
54. निम्न में से कौनसा कथन सत्य है- [RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019]
(A) \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x} = 0 \) (B) \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{x} \right)^x = e \) (C) \( \lim_{x \to a} \frac{\log_a x – 1}{x – a} = \log_a e \) (D) \( \lim_{x \to a} \frac{\log_a x – 1}{x – a} = \log_e a \)
55. \( \lim_{x \to \pi/2} \frac{\sin(\cos x)}{\cos x} \) बराबर है- [NVS (PGT) JUNE 2019, Chandigarh (TGT) 2019]
(A) \( -\pi \) (B) \( \pi/2 \) (C) 1 (D) \( \pi \)
56. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\tan x} \) बराबर है- [MP TET 2019]
(A) 1 (B) 3/2 (C) 1/e (D) 0
57. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1 – x}{x^2} = \) [MP TET 2019]
(A) 0 (B) 1/2 (C) \( -1/2 \) (D) \( -1 \)
58. \( \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x – \pi)^2} = \) [MP TET 2019]
(A) 1 (B) 3/2 (C) 3/4 (D) 1/2
59. \( \lim_{x \to 27} \frac{x^{1/3} – 3}{x – 27} = \) [MP TET 2019]
(A) 9 (B) 3 (C) 1/9 (D) 1/27
60. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n!)^n} = \) [Chandigarh (TGT) 2019]
(A) \( e^{-2} \) (B) \( e^{-1} \) (C) 0 (D) \( e^2 \)
61. \( \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n – x^n}{h} = \) [Chandigarh (TGT) 2019]
(A) \( n x^{n-1} \) (B) \( n \) (C) \( nh \) (D) \( nx \)
62. \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right) = \) [Chandigarh (TGT) 2019]
(A) \( -3/2 \) (B) \( -2/3 \) (C) 2/3 (D) 3/2
63. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+6}{x+1} \right)^{x+4} \) का मान है- [H-TET 2019]
(A) \( e^2 \) (B) \( e^3 \) (C) \( e^4 \) (D) \( e^5 \)
64. \( \lim_{x \to 2} \frac{1 – \cos(2(x-2))}{(x-2)^2} \) बराबर है- [H-TET 2019]
(A) 2 (B) \( -2 \) (C) 1/2 (D) विद्यमान नहीं है
65. यदि समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के दोनों मूल \( \alpha \) के बराबर हैं तो \( \lim_{x \to \alpha} \frac{\sin^2(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} \) बराबर है- [RPSC I Grade 2020]
(A) 0 (B) \( a \) (C) \( b \) (D) \( 2a\alpha + b \)
66. यदि \( \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^2+1}{x+1} – ax – b \right] \) परिमित है, तब- [RPSC I Grade 2020]
(A) \( a = 0 \) (B) \( a = 1 \) (C) \( a = -1 \) (D) \( a > 1 \)
67. यदि \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x+a) – \sin(x+b)}{x} = 1 \), तो \( a, b \) बराबर है- [I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020]
(A) \( a = \pi/3, b = -\pi/2 \) (B) \( a = \pi/3, b = \pi/2 \) (C) \( a = -\pi/3, b = \pi/2 \) (D) \( a = \pi/3, b = \pi/3 \)
68. यदि \( f'(a) \) विद्यमान है तब \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a-h)}{h} \) का मान होगा- [I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020]
(A) \( f'(a) \) (B) \( 2f'(a) \) (C) \( f'(a) + 2 \) (D) \( f'(a)/2 \)
69. \( \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x^2} – \cot^2 x \right] \) बराबर है- [ACF Feb. 2021]
(A) \( -1 \) (B) \( e \) (C) 1 (D) 0
70. यदि \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{1/x}} \), तब \( \lim_{x \to 0} f(x) \) है- [College Lecturer Tech. Edu. 18.03.2021]
(A) \( e/3 \) (B) \( -e/3 \) (C) \( e/2 \) (D) विद्यमान नहीं
71. \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+6}{x+1} \right)^{x+4} \) बराबर है- [UP TGT 08.08.21]
(A) 1 (B) \( e^2 \) (C) \( e^4 \) (D) \( e^5 \)
72. यदि \( \lim_{x \to a} \frac{x^x – a^a}{x – a} = e \), तो- [UP TGT 08.08.21]
(A) \( a = 1 \) (B) \( a = 0 \) (C) \( a = e \) (D) इनमें से कोई नहीं
73. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2}{n^3} \) बराबर है- [UP TGT 08.08.21]
(A) 0 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) अस्तित्व में नहीं है
74. \( \lim_{y \to a} \sin(y-a) \tan\left(\frac{\pi y}{2a}\right) \) बराबर है- [UP TGT 08.08.21]
(A) 0 (B) 1 (C) \( -2a/\pi \) (D) \( -a/\pi \)
75. \( \lim_{(x, y) \to (2, 1)} \frac{\sin(xy – 2)}{3xy – 6} \) का मान है- [UP PGT 18.08.21]
(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1 (D) 2
76. यदि \( f(2) = 4 \) तथा \( f'(2) = 1 \) तो \( \lim_{x \to 2} \frac{x f(2) – 2f(x)}{x – 2} \) बराबर है- [UP PGT 18.08.21]
(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 4
77. फलन \( f(x) = \frac{1 – \cos x}{x^2}, x \neq 0 \) को \( x = 0 \) पर सतत बनाया जा सकता है यदि \( f(0) \) को परिभाषित करें, \( f(0) = \)- [UP PGT 18.08.21]
(A) 1 (B) 1/2 (C) 0 (D) 2
| Qus. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Ans | B | B | C | C | C | A | A | C | C | A | C | B | D | C | B |
| Qus. | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| Ans | B | C | A | C | D | D | B | C | D | C | D | B | C | B | C |
| Qus. | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 |
| Ans | C | A | B | D | A | D | D | B | D | D | C | B | B | A | B |
| Qus. | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| Ans | B | A | A | D | B | B | A | D | D | D | A | C | B | D | B |
| Qus. | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 |
| Ans | A | B | D | D | B | B | C | B | D | D | D | A | B | D | A |
| Qus. | 76 | 77 | |||||||||||||
| Ans | A | B |
सांतत्यता (Continuity)
1. परिचय (Introduction)
यदि फलन \( y = f(x) \) का ग्राफ बनाते समय हमें पेंसिल या पेन को पृष्ठ (Paper) से ऊपर उठाने की आवश्यकता न पड़े अर्थात् इस फलन के संगत वक्र में कोई दरार, टूटन या उछाल (gap or jump) न हो तब फलन \( y = f(x) \) संतत फलन (Continuous function) कहलाता है।
दूसरे शब्दों में, जब \( x \) के मान में सूक्ष्म परिवर्तन पर फलन के मान में भी सूक्ष्म (परिमित) परिवर्तन हो तब फलन संतत कहलाता है, और यदि \( x \) के मान में सूक्ष्म परिवर्तन पर फलन के मान में अचानक बड़ा परिवर्तन हो जाये तो फलन असंतत (Discontinuous) कहलाता है।
2. फलन का एक बिन्दु पर सांतत्य (Continuity of a function at a point)
फलन \( f(x) \) अपने प्रांत के बिन्दु \( x = a \) पर संतत होगा यदि:
- (i) \( f(a) \) विद्यमान हो।
- (ii) \( \lim_{x \to a} f(x) \) परिमित रूप से विद्यमान हो।
- (iii) \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)
अर्थात् फलन संतत होगा यदि: \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \)।
3. असंततता के प्रकार (Types of Discontinuity)
- प्रथम प्रकार की असंततता (Discontinuity of first type): जब L.H.L और R.H.L विद्यमान हों लेकिन बराबर न हों अर्थात् \( \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x) \)।
- निराकरणीय या अपनेय असंततता (Removable discontinuity): \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \neq f(a) \)।
- द्वितीय प्रकार की असंततता (Discontinuity of Second type): जब L.H.L और R.H.L दोनों का अस्तित्व न हो।
- मिश्रित असंततता (Mixed discontinuity): जब एक ओर की सीमा परिमित हो और दूसरी ओर की नहीं।
- अपरिमित असंततता (Infinite discontinuity): जब L.H.L और R.H.L दोनों अपरिमित (\(\infty\)) हों।
4. संतत फलनों के गुणधर्म (Properties of continuous function)
यदि \( f(x) \) और \( g(x) \) दो संतत फलन हों तो निम्न फलन भी संतत होंगे:
- \( f(x) \pm g(x) \)
- \( f(x) \cdot g(x) \)
- \( \frac{f(x)}{g(x)} \) (जहाँ \( g(x) \neq 0 \))
- \( f(g(x)) \) तथा \( g(f(x)) \)
- यदि \( f(x), x = a \) पर संतत हो तो \( |f(x)| \) भी संतत होगा, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं होता।
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) – Continuity
01. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} kx^2 + 3 & \text{जब } x < 2 \\ 2x - 1 & \text{जब } x \ge 2 \end{cases} \), \( x = 2 \) पर संतत हो तो \( k \) का मान होगा-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
03. फलन \( f(x) = \tan x \) असंतत है-
(A) \( x = 0 \) पर (B) \( x = \frac{\pi}{2} \) पर (C) \( x = \pi \) पर (D) \( x = -\pi \) पर
04. यदि \( f(x) = [x] \) जहाँ \( [x], x \) के बराबर या उससे छोटा महत्तम पूर्णांक है, तो \( f(x) \) असंतत है-
(A) प्रत्येक वास्तविक संख्या पर (B) प्रत्येक परिमेय संख्या पर (C) प्रत्येक पूर्णांक पर (D) कभी भी नहीं
पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (PYQ – Continuity)
सांतत्यता (Continuity) – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions)
01. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} 2x + k & x < 2 \\ 3x - 1 & x > 2 \end{cases} \), \( x = 2 \) पर संतत हो तो \( k \) का मान होगा-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
02. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & x > 1 \\ 2x + 1 & x = 1 \end{cases} \), \( x = 1 \) पर संतत हो तो \( f(x) \) का मान जब \( x < 1 \) होगा-
(A) 3 (B) \( 1 – 2x \) (C) \( 1 – 4x \) (D) इनमें से कोई नहीं
03. फलन \( f(x) = \tan x \) असंतत है-
(A) \( x = 0 \) पर (B) \( x = \pi/2 \) पर (C) \( x = \pi \) पर (D) \( x = -\pi \) पर
04. यदि \( f(x) = [x] \) जहाँ \( [x], x \) के बराबर या उससे छोटा महत्तम पूर्णांक है, तो \( f(x) \) असंतत है-
(A) प्रत्येक वास्तविक संख्या पर (B) प्रत्येक परिमेय संख्या पर (C) प्रत्येक पूर्णांक पर (D) कभी भी नहीं
05. यदि \( f(x) = [x] – x \) हो तो \( f(x) \) संतत है-
(A) \( x = 0 \) पर (B) \( x = -1 \) पर (C) \( x = 1 \) पर (D) \( x = 1/2 \) पर
06. निम्न में से किस फलन के अनंत असंतत बिन्दु हैं?
(A) \( [x] \) (B) \( \tan x \) (C) उपरोक्त दोनों (D) उपरोक्त कोई नहीं
07. फलन \( f(x) = x + |x| \)-
(A) सभी बिन्दुओं पर संतत है (B) \( x = 0 \) पर असंतत है (C) \( x = 1 \) पर असंतत है (D) सभी बिन्दुओं पर असंतत है
08. फलन \( f(x), x = a \) पर संतत होगा यदि-
(A) \( f(a-0) = f(a) \) (B) \( f(a+0) = f(a) \) (C) \( f(a-0) = f(a+0) = f(a) \) (D) \( f(a-0) = f(a+0) \)
09. निम्न फलनों में असंतत फलन है-
(A) \( x^2 + 5 \) (B) \( 1/\cos x \) (C) \( e^{-x} \) (D) \( 3\sin x \)
10. निम्न फलनों में असंतत फलन है-
(A) \( \frac{x^2+1}{x} \) (B) \( 2x \) (C) \( |x| \) (D) \( [x] \)
11. फलन \( f(x) = |x| – x \)-
(A) \( x = 0 \) पर असंतत है (B) \( x = 1 \) पर असंतत है (C) सर्वत्र संतत है (D) सर्वत्र असंतत है
12. \( x = a \) पर असंतत फलन है-
(A) \( e^{x-a} \) (B) \( \tan(x-a) \) (C) \( \sec(x-a) \) (D) \( \csc(x-a) \)
13. यदि \( f(x) \) व \( g(x) \) सर्वत्र संतत फलन हों तो गलत कथन है-
(A) \( f(x) \pm g(x) \) संतत है (B) \( f(x) \div g(x) \) संतत है (C) \( f(x) \times g(x) \) संतत है (D) इनमें से कोई नहीं
14. यदि \( f(x) \) संतत व \( g(x) \) असंतत फलन है तब \( f(x) \pm g(x) \)-
(A) सदैव संतत फलन होगा (B) सदैव असंतत फलन होगा (C) संतत हो भी सकता है नहीं भी (D) उपरोक्त कोई नहीं
15. यदि \( f(x) \) संतत व \( g(x) \) असंतत फलन हो तब \( f(x) \cdot g(x) \) होगा-
(A) सदैव संतत (B) सदैव असंतत (C) संतत भी हो सकता है (D) इनमें से कोई नहीं
16. निम्न फलनों में असंतत फलन कौनसा है-
(A) \( \sin^2 x \) (B) \( x^3 \) (C) \( \frac{1}{1-3x} \) (D) \( \frac{1}{1+x^2} \)
17. निम्न में से कौनसा फलन सीमित असंतत बिन्दु रखता है?
(A) \( [x] \) (B) \( \frac{|x|}{x} \) (C) \( \sec x \) (D) उपरोक्त सभी
18. यदि \( x = \frac{n\pi}{2} \) पर फलन \( \cot x \) असंतत हो तो-
(A) \( n \in I \) (B) \( 2n \in I \) (C) \( n \in R \) (D) \( n \in C \)
19. \( \csc x \) का एक असंतत बिन्दु है-
(A) \( x = \pi/2 \) (B) \( x = 3\pi/2 \) (C) \( x = 3\pi/4 \) (D) \( x = \pi \)
20. \( \sec 2x \) का एक असंतत बिन्दु है-
(A) \( x = \pi \) (B) \( x = \pi/2 \) (C) \( x = \pi/3 \) (D) \( x = \pi/6 \)
21. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} 2x & 0 \le x < 1 \\ a - 2x & 1 \le x \le 2 \end{cases} \), \( x = 1 \) पर संतत हो तो \( a \) बराबर है-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4
22. फलन \( f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \) असंतत है-
(A) मूल बिन्दु पर (B) सभी बिन्दुओं पर (C) कहीं भी नहीं (D) केवल मूल बिन्दु पर
23. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 – a^2}{x – a} & x \neq a \\ f(a) & x = a \end{cases} \), \( x = a \) पर संतत हो तो \( f(a) \) का मान होगा-
(A) \( a \) (B) \( 2a \) (C) \( 3a \) (D) \( 4a \)
24. यदि \( f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & x \neq 0 \\ f(0) & x = 0 \end{cases} \), \( x = 0 \) पर संतत हो तो \( f(0) \) बराबर होगा-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
25. फलनों में संतत फलन है-
(A) \( [x] \) (B) \( x – [x] \) (C) \( \sin[x] \) (D) \( x e^{-x} \)
26. निम्न फलनों में असंतत फलन है-
(A) \( \sin^2 x + \cos x \) (B) \( e^{-x} \) (C) \( e^{2x} \) (D) \( e^{1/x} \)
27. यदि \( f(x) = \frac{x^2 – 36}{x – 6} \) सर्वत्र संतत हो तो \( f(6) \) बराबर है-
(A) 0 (B) 12 (C) 36 (D) 6
28. निम्न में से कौनसा फलन सदैव संतत है?
(A) \( \cot x \) (B) \( \log x \) (C) \( x|x| \) (D) \( x[x] \)
29. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ 3 – ax & x > 1 \end{cases} \), \( x = 1 \) पर संतत हो तो \( a \) का मान होगा-
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) इनमें से कोई नहीं
30. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2} & 0 \le x < 1 \\ 2x^2 - 3x + \frac{3}{2} & 1 \le x < 2 \end{cases} \) है, तो-
(A) \( x = 0 \) पर संतत है पर \( x = 1 \) पर नहीं
(B) \( x = 2 \) पर संतत है पर \( x = 0 \) पर नहीं
(C) \( x = 0, 1, 2 \) तीनों बिन्दुओं पर संतत है
(D) \( x = 0, 1, 2 \) तीनों बिन्दुओं पर असंतत है
31. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} -x^2 & -1 \le x < 0 \\ x & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1 \end{cases} \) है, तो-
(A) \( x = 0 \) पर संतत है पर \( x = 1 \) पर नहीं
(B) \( x = 0, 1 \) दोनों पर संतत है
(C) \( x = 1 \) पर संतत है परन्तु \( x = 0 \) पर नहीं
(D) \( x = 0, 1 \) दोनों पर असंतत है
32. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} x^2 + 3 & x \le 1 \\ 5x – 1 & 1 < x \le 3 \\ x + 5 & x > 3 \end{cases} \) हो तो सत्य कथन है-
(A) \( f(x), x = 1 \) पर असंतत है (B) \( f(x), x = 3 \) पर असंतत है
(C) \( \lim_{x \to 3} f(x) \) विद्यमान है (D) \( f(x), x = 1 \) व \( x = 3 \) दोनों पर संतत है
33. फलन \( f(x) = |x – 1| + |x – 2| \) के लिए सत्य कथन है-
(A) \( x = 2 \) पर संतत है (B) \( x = 2 \) पर असंतत है (C) \( x = 1 \) व 2 दोनों पर असंतत है (D) इनमें से कोई नहीं
34. वह कौनसा बिन्दु है जहाँ फलन \( f(x) = \frac{x^2 \sin(x) + e^x – e^3}{x – 3} + \log(x – 3) \) असंतत है-
(A) 5 (B) \( \pi \) (C) \( e + 1 \) (D) 3
35. फलन \( f(x) = \frac{\tan(\pi[x-\pi])}{1 + [x]^2} \) के लिए असत्य कथन है-
(A) \( f(x) \) अचर फलन है (B) \( f(x), x = 0 \) पर संतत है
(C) \( f(x), x = 0 \) पर असंतत है (D) \( f(x), x \) के सभी मानों के लिए संतत फलन है
36. यदि \( f(x) = 3 \sin x \) हो तो \( f(x) \) है-
(A) सर्वत्र संतत (B) सर्वत्र असंतत (C) \( x = 0 \) पर संतत (D) \( x = 0 \) पर असंतत
37. यदि \( f(x) = \frac{\tan(\pi/4 – x)}{\cot 2x}, x \neq \pi/4 \) सर्वत्र संतत हो तो \( f(\pi/4) \) बराबर होगा-
(A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1/2
38. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{k \cos x}{\pi – 2x} & x \neq \pi/2 \\ 1 & x = \pi/2 \end{cases} \), \( x = \pi/2 \) पर संतत हो तो \( k \) का मान होगा-
(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2
39. यदि फलन \( f(x) = \begin{cases} -2\sin x & x \le -\pi/2 \\ a \sin x + b & -\pi/2 < x < \pi/2 \\ \cos x & x \ge \pi/2 \end{cases} \), \( x \) के प्रत्येक मान के लिए संतत फलन हो तब-
(A) \( a = 1, b = 1 \) (B) \( a = 1, b = -1 \) (C) \( a = -1, b = 1 \) (D) \( a = -1, b = -1 \)
| Qus. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Ans | B | A | B | C | D | C | A | C | B | D | C | D | B | B | C |
| Qus. | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| Ans | C | B | A | D | A | D | C | B | C | D | D | B | C | B | D |
| Qus. | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | ||||||
| Ans | C | D | A | D | C | A | D | C | C |
अवकलनीयता (Differentiability)
1. परिचय (Introduction)
माना \( y = f(x) \) एक फलन है जिसमें \( x \) स्वतंत्र तथा \( y \) आश्रित चर है तब \( y \) की \( x \) के साथ बदलने की दर \( y \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलज या अवकल गुणांक (Derivative or differential coefficient) कहलाता है।
2. फलन का अवकलज (The derivative of a function)
माना \( y = f(x) \) एक निश्चित अन्तराल में परिभाषित संतत फलन है। यदि \( x \) में सूक्ष्म परिवर्तन \( \delta x \) के संगत \( y \) में परिवर्तन \( \delta y \) है, तब \( \frac{\delta y}{\delta x} \) की \( \delta x \to 0 \) पर सीमा \( y \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलज कहलाती है। इसे हम संकेत \( \frac{dy}{dx} \) से प्रदर्शित करते हैं।
\[ \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x} = \frac{dy}{dx} \] \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]3. ज्यामितीय अर्थ (Geometric Meaning of \( \frac{dy}{dx} \))
\( \frac{dy}{dx} = \tan \psi \), जो कि वक्र \( y = f(x) \) के बिन्दु \( P \) पर खींची गई स्पर्शी की प्रवणता (Slope) है।
Slope of tangent represents the derivative.
4. फलन की एक बिन्दु पर अवकलनीयता (Differentiability of function at a point)
फलन \( y = f(x) \) बिन्दु \( x = a \) पर अवकलनीय कहलाता है यदि सीमा:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \quad \text{या} \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x – a} \]
परिमित रूप से विद्यमान हो। इस सीमा का मान फलन \( f \) का बिन्दु \( a \) पर अवकलज कहलाता है और इसे संकेत \( f'(a) \) या \( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=a} \) से व्यक्त करते हैं।
5. बायां और दायां अवकलज (Left and Right derivatives)
फलन \( f(x) \) का बिन्दु \( x = a \) पर अवकलज विद्यमान होगा यदि इस बिन्दु पर बायां व दायां दोनों अवकलज विद्यमान हों और बराबर हों।
अर्थात् \( R[f'(a)] = L[f'(a)] \)
6. महत्वपूर्ण परिणाम (Important Results)
- (i) यदि फलन \( f(x) \) किसी बिन्दु पर अवकलनीय हो तो यह उस बिन्दु पर संतत भी होगा लेकिन इसका विलोम सत्य होना आवश्यक नहीं है अर्थात् यदि फलन \( f(x) \) बिन्दु \( x = a \) पर संतत हो तो यह इस बिन्दु पर अवकलनीय हो भी सकता है और नहीं भी।
- (ii) यदि फलन \( f(x) \) अवकलनीय है तो इसका ग्राफ चिकना (smooth) होगा अर्थात् उसमें कोई दरार, उछाल या कोणीय बिन्दु (corner point) नहीं होगा।
- (iii) यदि फलन \( f(x), x = a \) पर संतत नहीं है तो यह इस बिन्दु पर अवकलनीय भी नहीं होगा।
- (iv) समाकलन चिह्न के अन्तर्गत अवकलन (Differentiation under the Sign of Integration):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) dt \right] \] (Leibniz Integral Rule).
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) – Differentiability
अवकलनीयता (Differentiability) – वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions)
01. फलन \( f(x) = x + |x| \) का अवकलज विद्यमान नहीं है-
(A) \( x = 1 \) पर (B) \( x = 0 \) पर (C) \( x = -1 \) पर (D) सर्वत्र
02. फलन \( f(x) = |x – 1| \) अवकलनीय नहीं है-
(A) \( x = 1 \) पर (B) \( x = 0 \) पर (C) \( x = -1 \) पर (D) सर्वत्र
03. फलन \( f(x) = |x| + |x – 2| \) अवकलनीय नहीं है-
(A) \( x = 0 \) पर (B) सिर्फ \( x = 0 \) पर (C) \( x = 0 \) और 2 के अतिरिक्त सर्वत्र (D) सर्वत्र
04. फलन \( f(x) = |x – 2| \) हो तो \( x = 2 \) पर \( f(x) \)-
(A) संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं (B) संतत नहीं लेकिन अवकलनीय है
(C) संतत व अवकलनीय दोनों है (D) न संतत और न अवकलनीय
05. निम्न में से कौनसा फलन \( x = 1 \) पर अवकलनीय नहीं है-
(A) \( |x – 1| \) (B) \( \tan x \) (C) \( x^a \) (D) \( \cosh x \)
06. निम्न में से कौनसा फलन \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है-
(A) \( \cosh x \) (B) \( |x| \) (C) \( e^x \) (D) \( x|x| \)
07. यदि \( f(x) = \begin{cases} 1 – x, & x \le 0 \\ e^{-x}, & x > 0 \end{cases} \) हो तो \( f'(x) \) बराबर है-
(A) \( \begin{cases} -1, & x \le 0 \\ -e^{-x}, & x > 0 \end{cases} \) (B) \( \begin{cases} -1, & x \le 0 \\ e^{-x}, & x > 0 \end{cases} \)
(C) \( \begin{cases} 0, & x < 0 \\ -e^{-x}, & x > 0 \end{cases} \) (D) \( \begin{cases} -1, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases} \)
08. यदि \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ 1, & x = 0 \\ x, & x > 0 \end{cases} \), हो तब सत्य कथन है-
(A) \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \) (B) \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)
(C) \( f(x), x = 0 \) पर संतत है (D) \( f(x), x = 0 \) पर अवकलनीय है
09. \( x = 0 \) पर फलन \( f(x) = |x| \) है-
(A) संतत लेकिन अवकलनीय नहीं (B) संतत व अवकलनीय
(C) असंतत एवं अन-अवकलनीय (D) संतत एवं अवकलनीय
10. फलन \( f(x) = [x] \) अवकलनीय नहीं है-
(A) सर्वत्र (B) केवल मूलबिन्दु पर (C) प्रत्येक पूर्णांक पर (D) प्रत्येक परिमेय संख्या पर
11. फलन \( f(x) = |x^2 – 3x + 2| \) का अवकलज विद्यमान नहीं है-
(A) सर्वत्र (B) \( x = 1, 2 \) पर (C) \( x = 1 \) पर (D) \( x = -1 \) पर
12. यदि \( f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 1 + \sin x, & 0 \le x \le \pi/2 \end{cases} \) हो तो \( f'(0) \) बराबर है-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) विद्यमान नहीं है
13. यदि \( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x > 1 \\ 0, & x = 1 \\ 7 – 4x, & x < 1 \end{cases} \) हो तब \( f'(1) \) बराबर है-
(A) 0 (B) 2 (C) -4 (D) विद्यमान नहीं है
14. \( x = 0 \) पर कौनसा फलन अवकलनीय है-
(A) \( x + |x| \) (B) \( x – |x| \) (C) \( x|x| \) (D) \( |x|/x \)
15. \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है-
(A) \( x|x| \) (B) \( \sin|x| \) (C) \( \sin h|x| \) (D) उपरोक्त कोई नहीं
16. यदि \( f(x) = \frac{\tan(\pi[x-\pi])}{1+[x]^2} \) हो तो \( f(x) \)-
(A) सर्वत्र असंतत है (B) सर्वत्र असंतत लेकिन अवकलनीय नहीं (C) सर्वत्र अवकलनीय (D) कुछ बिन्दु पर अवकलनीय
17. फलन \( f(x) = \sin(\pi[x]) \) के लिये सत्य कथन है-
(A) सर्वत्र असंतत (B) \( x = 0 \) पर संतत लेकिन अवकलनीय नहीं
(C) सर्वत्र अवकलनीय (D) सर्वत्र संतत लेकिन अवकलनीय नहीं
18. यदि \( f(x) = x|x| \) हो तब \( f'(x) \) बराबर है-
(A) \( 2x \) (B) \( 2|x| \) (C) \( -2x \) (D) विद्यमान नहीं
19. \( \lim_{x \to c} \frac{x^3 f(c) – c^3 f(x)}{x – c} \) बराबर है-
(A) 8 (B) \( 3c^2 f(c) \) (C) \( 3c^2 f(c) – c^3 f'(c) \) (D) इनमें से कोई नहीं
20. फलन \( f(x) = \begin{cases} 3x, & -1 \le x \le 1 \\ 4 – x, & 1 < x < 4 \end{cases} \) हो तो \( x = 1 \) पर \( f(x) \)-
(A) संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं (B) संतत नहीं लेकिन अवकलनीय है
(C) अवकलनीय है (D) असंतत है
21. फलन \( f(x) = 1 + |\sin x| \) के लिये असत्य कथन है-
(A) सर्वत्र असंतत (B) सर्वत्र संतत
(C) \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं (D) अनंत बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं
22. फलन \( f(x) = |3x + 4| \) है-
(A) सर्वत्र अवकलनीय है (B) \( x = -4/3 \) पर असंतत
(C) \( x = -4/3 \) के अतिरिक्त सर्वत्र अवकलनीय (D) कहीं भी अवकलनीय नहीं
23. फलन \( f(x) = |x – a| + |x – b| \) है-
(A) सर्वत्र अवकलनीय (B) \( x = a, b \) पर असंतत
(C) \( x = a, b \) के अतिरिक्त सर्वत्र अवकलनीय (D) इनमें से कोई नहीं
24. यदि \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} \) हो तब गलत कथन है-
(A) f’ अवकलनीय है (B) f अवकलनीय है (C) f’ संतत है (D) f संतत है
25. फलन \( f(x) = |x – 1| + 2|x – 2| \) के लिये अन्तराल (0, 3) में उन बिन्दुओं की संख्या जहाँ फलन f अवकलनीय नहीं है-
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
26. यदि \( f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3, & x \ge 1 \\ 3x + 1, & x < 1 \end{cases} \), \( x = 1 \) पर अवकलनीय हो तब a का मान है-
(A) 3 (B) -1 (C) 3/2 (D) 1
27. फलन \( y = [x] + |1 – x| \), जब \( -1 \le x \le 3 \) हो किन बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं है-
(A) सिर्फ \( x = 0 \) पर (B) सिर्फ \( x = 1 \) पर (C) 0, 1, 2, 3 पर (D) सर्वत्र
| Qus. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Ans | B | A | A | A | A | B | A | B | A | C | B | D | C | D | D |
| Qus. | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | |||
| Ans | C | C | B | C | A | A | C | C | A | C | D | C |
