Chapter - 1, Relation and Function (Important Question)

1. मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध है। निम्नलिखित में से सही उतर चुनिए।

(1) R स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।

(2) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।

(3) R सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतुल्य नहीं है।

(4) R एक तुल्यता संबंध है।

Ans 2

2. समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 1) (2, 2) (3, 3) (1, 2) (2, 3)} द्वारा प्रदत संबंध है?

(1) स्वतुल्य (2) सममित (3) संक्रामक (4) तुल्यता

Ans 1

3. R से R में परिभाषित निम्न में से कौनसा फलन एकैकी है-

(1) F(X) = |x|

(2) F(x) = cos x

(3) F(x) = e^x

(4) F(x)=x²

Ans 3

4. समुच्चय A= {1,2,3,4} से स्वयं तक सभी एकैकी फलन की संख्या होगी-

(1) 3

(2)4

(3)8

(4) 6

Ans 1

5. यदि R={(x, y) : x, y∊ z, x²+y²4} एक संबंध है तब R का प्रान्त होगा –

(1) {0,1}

(2) {-2, -1, 0, 1, 2}

(3) {2,-2}

(4) {0, 1,2}

Ans 4

6. यदि A={1,2,3} हो तो अवयव (1,2) वाले तुल्यता संबंधों की संख्या है-

(1)1

(2) 2

(3)3

(4) 4

Ans 2

7. मान लीजिए कि f :R->R, f (x)=x4 द्वारा परिभाषित है। सही उतर का चयन कीजिए।

(1) f एकैकी आच्छादक है (2) f बहुएक आच्छादक है

(3) f एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है

(4) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है

Ans 4

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R=(a,b):a⦤b²}, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रमक है।

Ans : दिया है, A=R= वास्तविक संख्याओं का समुच्चय तथा R={(a,b):a⦤b²}

स्वतुल्य संबंध के लिए, हम जानते है कि $\displaystyle \frac{1}{2}\le {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2}}$ सत्य नहीं है।

⇒ $\displaystyle \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\notin R$ अतः R, स्वतुल्य संबंध नहीं है।

सममित संबंध के लिए, हम जानते हैं कि $\displaystyle -1\le {{3}^{2}}\Rightarrow \left( {-1,3} \right)\in R$

लेकिन $\displaystyle -3\le {{\left( {-1} \right)}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow \left( {-1,3} \right)\in R$ अतः R सममित संबंध नहीं है।

संक्रमक संबंध के लिए, हम जानते है कि $\displaystyle 2<{{\left( {-3} \right)}^{2}}\therefore \left( {2,-3} \right)\in R$ तथा (-3) < (1)²

$\displaystyle \left( {-3,1} \right)\in R$ लेकिन 2<1² :(2,1) $\displaystyle \notin$ R अतः R एक संक्रमक संबंध नहीं है।

Question: f (x) = 4x+3 द्वारा प्रदत फलन f : R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलो फलन ज्ञात कीजिए।

Ans. फलन f :R→R में, f (x)=4x+3, $\displaystyle \forall x\in R$ द्वारा परिभाषित फलन है।

मान लीजिए x,y $\displaystyle \in$ R इस प्रकार है कि f (x)= f(y)

⇒4x+3=4y+3

⇒x=y

∴ f एकैकी फलन है।

मान लीजिए प्रत्येक वास्तविक संख्या y ∈R के लिए R में, x ∈ R इस प्रकार विद्यमान है कि

f(x)=y⇒4x+3=y⇒ $\displaystyle x=\frac{{y-3}}{4}$

प्रत्येक y∈R के लिए $\displaystyle x=\frac{{y-3}}{4}\in R$ इस प्रकार है कि

$\displaystyle f\left( x \right)=f\left( {\frac{{y-3}}{4}} \right)=4\left( {\frac{{y-3}}{4}} \right)+3=y$

∴ f आच्छादक फलन है। अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।

अतः ∴ f^-1 विद्यमान है। मान लीजिए g:R→R में, $\displaystyle g\left( x \right)=\frac{{x-3}}{4}$ द्वारा परिभाषित है।

Chapter – 1, Relation and Function (Important Question)

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